|
We hebben de irrationaliteit van een getal al genoemd als een typische vertegenwoordiger van dit soort stellingen. Een ander voorbeeld is de stelling die is bewezen door J.-L. Lagrange (1736–1813). Er is nauwelijks een wiskundige die haar niet ‘belangrijk’ of ‘mooi’ zou noemen. De stelling van Lagrange stelt dat elk geheel getal groter dan of gelijk aan één kan worden weergegeven als de som van kwadraten van niet meer dan vier getallen; bijvoorbeeld 23 = 32 + 32 + 22 + 12. Gezien de huidige stand van zaken is het ondenkbaar dat dit resultaat nuttig zou kunnen zijn bij het oplossen van een experimenteel probleem. Het is waar dat natuurkundigen tegenwoordig veel vaker met gehele getallen te maken hebben dan in het verleden, maar de gehele getallen waarmee ze werken zijn altijd beperkt (ze overschrijden zelden enkele honderden); daarom kan een stelling zoals de stelling van Lagrange alleen “nuttig” zijn als deze wordt toegepast op gehele getallen die een bepaalde grens niet overschrijden. Maar zodra we de formulering van de stelling van Lagrange beperken, is het onmiddellijk niet meer interessant voor een wiskundige, aangezien de hele aantrekkingskracht van deze stelling ligt in de toepasbaarheid ervan op alle gehele getallen. (Er zijn heel veel uitspraken over gehele getallen die door computers kunnen worden geverifieerd voor zeer grote getallen; maar aangezien er geen algemeen bewijs wordt gevonden, blijven ze hypothetisch en niet interessant voor professionele wiskundigen.) Een focus op onderwerpen die verre van onmiddellijke toepassing zijn, is niet ongebruikelijk voor wetenschappers die op welk gebied dan ook werken, of het nu astronomie of biologie is. Hoewel het experimentele resultaat kan worden verfijnd en verbeterd, is het wiskundige bewijs altijd definitief. Daarom is het moeilijk de verleiding te weerstaan om wiskunde, of in ieder geval dat deel ervan dat niets met de “werkelijkheid” te maken heeft, als kunst te zien. Wiskundige problemen worden niet van buitenaf opgelegd, en als we het moderne standpunt accepteren, zijn we volledig vrij in de materiaalkeuze. Bij het evalueren van een of ander wiskundig werk hebben wiskundigen geen “objectieve” criteria en zijn ze aangewezen op hun eigen “smaak”. Smaken variëren sterk, afhankelijk van tijd, land, tradities en individuen. Er zijn mode en “scholen” in moderne wiskunde. Momenteel zijn er drie van dergelijke “scholen”, die we gemakshalve “classicisme”, “modernisme” en “abstractionisme” zullen noemen. Om de verschillen daartussen beter te begrijpen, analyseren we de verschillende criteria die wiskundigen gebruiken bij het evalueren van een stelling of een groep stellingen. (1) Volgens de algemene mening zou een “mooi” wiskundig resultaat niet triviaal moeten zijn, d.w.z. mag geen duidelijk gevolg zijn van axioma’s of eerder bewezen stellingen; het bewijs moet een nieuw idee gebruiken of oude ideeën slim toepassen. Met andere woorden, voor een wiskundige is niet het resultaat zelf belangrijk, maar het proces van het overwinnen van de moeilijkheden die hij tegenkwam bij het verkrijgen ervan. (2) Elk wiskundig probleem heeft zijn eigen geschiedenis, om zo te zeggen “genealogie”, die hetzelfde algemene schema volgt volgens welke de geschiedenis van elke wetenschap zich ontwikkelt: na de eerste successen kan er een bepaalde tijd verstrijken voordat het antwoord op de gestelde vraag is gevonden. Als de oplossing is gevonden, houdt het verhaal daar niet op, want de bekende processen van expansie en generalisatie beginnen. De bovengenoemde stelling van Lagrange leidt bijvoorbeeld tot de vraag om elk geheel getal weer te geven als een som van kubussen, vierde, vijfde graden, enz. Dit is hoe het “Waring-probleem” ontstaat, dat nog geen definitieve oplossing heeft gekregen. Bovendien, als we geluk hebben, zal het probleem dat we hebben opgelost verband houden met een of meer fundamentele structuren, en dit zal op zijn beurt leiden tot nieuwe problemen die verband houden met deze structuren. Zelfs als de oorspronkelijke theorie uiteindelijk sterft, heeft ze de neiging om talloze levende scheuten achter te laten. Moderne wiskundigen worden geconfronteerd met zo’n immense verstrooiing van problemen dat zelfs als elk verband met experimentele wetenschap zou worden onderbroken, hun oplossing nog enkele eeuwen zou duren. (3) Elke wiskundige zal het erover eens zijn dat wanneer zich een nieuw probleem voordoet, het zijn plicht is het op alle mogelijke manieren op te lossen. Wanneer een probleem klassieke wiskundige objecten betreft (classici hebben zelden te maken met andere soorten objecten), proberen classici het op te lossen met alleen klassieke middelen, terwijl andere wiskundigen meer ‘abstracte’ structuren introduceren om algemene stellingen te gebruiken die verband houden met taak. Dit verschil in aanpak is niet nieuw. Beginnen
|
| https://breinbrekers.be/ |
